湖南文
6.设双曲线的渐近线方程为则的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案:C
解析:由双曲线方程可知渐近线方程为,故可知。
9.在直角坐标系中,曲线的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,曲线的方程为则与的交点个数为 .答案:2
解析:曲线,曲线,联立方程消得,易得,故有2个交点。
15.已知圆直线
(1)圆的圆心到直线的距离为 .
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 .
答案:5,解析:(1)由点到直线的距离公式可得;
(2)由(1)可知圆心到直线的距离为5,要使圆上点到直线的距离小于2,即与圆相交所得劣弧上,由半径为,圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为,故所求概率为.
21.已知平面内一动点到点F(1,0)的距离与点到轴的距离的等等于1.
(I)求动点的轨迹的方程;
(II)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线,设与轨迹相交于点,与轨迹相交于点,求的最小值.
解析:(I)设动点的坐标为,由题意为
化简得当、
所以动点P的轨迹C的方程为
(II)由题意知,直线的斜率存在且不为0,设为,则的方程为.
由,得
设则是上述方程的两个实根,于是 .
因为,所以的斜率为.设则同理可得:
故
当且仅当即时,取最小值16.
江苏
14.设集合,, 若 则实数m的取值范围是________.
答案:.
解析:当时,集合A是以(2,0)为圆心,以为半径的圆,集合B是在两条平行线之间,(2,0)在直线的上方 ,又因为此时无解;
当时,集合A是以(2,0)为圆心,以和为半径的圆环,集合B是在两条平行线之间,必有当时,只要,.
当时, 只要,
当时,一定符合
又因为,.
本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力.本题属难题.
18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.
(1)当直线PA平分线段MN时,求k的值;
(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB.
答案:(1)由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),
直线PA平分线段MN时,即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以.
(2)直线,由得,,
AC方程:即:
所以点P到直线AB的距离
(3)法一:由题意设,
A、C、B三点共线,
又因为点P、B在椭圆上,,两式相减得:
.
法二:设,
A、C、B三点共线,又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得:,
,
法三:由得
,直线
代入得到,解得,
解析:本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质,直线的斜率及其方程,点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组,共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题;(3)是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点,且与直线(为参数)平行的直线的普通方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识,考查转化问题的能力,满分10分。
解:由题设知,椭圆的长半轴长,短半轴长,从而,所以右焦点为(4,0),将已知直线的参数方程化为普通方程:
故所求直线的斜率为,因此其方程为。