广东文
8.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y =0相切,则C的圆心轨迹为
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
D
21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP
(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标;
(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。
21.(本小题满分14分)
解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,
因此即 ①
另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。
MQ为线段OP的垂直平分线,
又
因此M在轴上,此时,记M的坐标为
为分析的变化范围,设为上任意点
由(即)得,
故的轨迹方程为 ②
综合①和②得,点M轨迹E的方程为
(2)由(1)知,轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成(见图3):
;
当时,过T作垂直于的直线,垂足为,交E1于。
再过H作垂直于的直线,交
因此,(抛物线的性质)。
(该等号仅当重合(或H与D重合)时取得)。
当时,则
综合可得,|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为
(3)由图3知,直线的斜率不可能为零。
设
故的方程得:
因判别式
所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。
又由E2和的方程可知,若与E2有交点,
则此交点的坐标为有唯一交点,从而表三个不同的交点。
因此,直线的取值范围是
湖北理
4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为,则
A. B. C. D.
【答案】C
解析:根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为和,这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点,如图所以正三角形的个数记为,,所以选C.
14.如图,直角坐标系所在的平面为,直角坐标系(其中轴与轴重合)所在的平面为,.
(Ⅰ)已知平面内有一点,则点在平面内的射影的坐标为 ;
(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是,则曲线在平面内的射影的方程是 .
【答案】,
解析:(Ⅰ)设点在平面内的射影的坐标为,
则点的纵坐标和纵坐标相同,
所以,过点作,垂足为,
连结,则,横坐标
,
所以点在平面内的射影的坐标为;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,所以代入曲线的方程,得,
所以射影的方程填.
20.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。(满分14分)
解:(I)设动点为M,其坐标为,
当时,由条件可得
即,又的坐标满足
故依题意,曲线C的方程为
当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆;
当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;
当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;
当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。
(II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为
当时,C2的两个焦点分别为
对于给定的,C1上存在点使得的
充要条件是
|
|
当或时,存在点N,使S=|m|a2;
当或时,不存在满足条件的点N,
当时,
由,
可得令,
则由,
从而,
于是由,可得
综上可得:
当时,在C1上,存在点N,使得
当时,在C1上,存在点N,使得
当时,在C1上,不存在满足条件的点N。