下列几个问题，在高中数学教学中大多不能回避，因此在许多教辅书中频频出现，而其中的解释又欠妥当，现写出来供大家参考。

1.       空集是否是单元集｛｝的真子集？

有的教辅书［１］中称：“｛｝中的和｛｝均作为集合来理解，这样就符合空集是任何非空集合的真子集了”。其理由是：“空集是任何非空集合的真子集”， 是空集而｛｝是非空集合，所以｛｝.

事实上，这是在作三段论逻辑推理，而逻辑推理必须遵循同一律，即在同一思维过程中进行推理时，一个概念或对象的含义要始终保持一致。在｛｝中，真包含符号“”左边的看成了集合，而右边大括号中的看成了｛｝的元素，这就违背了同一律。

或者说，在这一推理过程中，偷换了“非空集合”这个概念：教科书中从未出现过集合作为元素的集合，因而，其中（也是该推理过程的大前提中）的“非空集合”根本就不包含形如｛｝者，即该推理过程大小前提中的两个“非空集合”不是一个论域中的概念、不是一个层次上的概念。

站到高等数学中集合论的高度看，集合作为元素组成新的集合时，这两个不同层次的“集合”前者是后者的元素，因此空集不是单元集｛｝的真子集，而是它的元素。

在高中数学大纲中明确规定不研究集合作为元素的集合，一些教辅书或教师拔高要求给出此类题目是欠妥当的，给出此类题目的错误解释和结论更是不应该的。

2.“等式两边乘以同一个数，所得结果仍是等式”的逆否命题是什么？

该问题是人教版现行普通高中教科书《数学》第一册第30页练习2（3），相应教师用书第19页给出的答案是“若式子两边乘以同一个数，所得结果不是等式，则这个式子不是等式。”有些教辅书给出的答案是“不等式两边乘以同一个数，所得结果是不等式”，或“等式两边乘以不同的数，所得结果是不等式”。如此等等，这些答案都是欠妥当的。

事实上，若求得该问题的全面解答，将涉及复合命题的否定。

原命题的结论成立有三个条件：等式、两边乘、同一个数。将其写成 “若…，则…”的形式，应为“一个关系式的两边分别用一个数施以某种运算，若这个关系式是等式且两边采用同一个数又都施以乘法运算，则所得结果是等式。”

由于命题“若p且q且r，则m”的逆否命题是“若m，则p或q或r”，所以原命题的逆否命题是“一个关系式的两边分别用一个数施以某种运算，若所得结果不是等式，则这个关系式不是等式，或两边使用的不是同一个数，或两边施行的不都是乘法运算。”

这样的解答，显然已远远超出了相应教师用书第10页的明确要求“不研究含逻辑连接词的命题的否命题、逆命题和逆否命题”。鉴于教师用书中对类似问题的处理，将原命题改述为“若a=b，则ac=bc.”较好，如是，其逆否命题可表述为“若acbc，则ab.”这也与教科书中其他练习题的难度相当。

３. 精确到各数位的不足近似值，所构成的数列有无通项公式？

有的教师和教辅书［２］以此作为“没有通项公式的数列”之例，这是错误认识．其原因可能源于几十年来中学数学内容从不涉及“数论”中的高斯函数（ [x]：不超过实数x的最大整数）。

借用[x]，该数列可以表示如下：

 []，，，…，，…（n是正整数）

类似地，还可以用高斯函数分别写出，精确到各数位的过剩近似值数列和π按四舍五入精确到各数位的数列的通项公式如下：

、（n是正整数）.

４. 在下图所示的电路中，使电灯亮的通电线路有多少条？通电方式有多少种？            

不少教师和教辅书［３］中，对上述两问不加区别，第二问也按第一问来解，这是不妥当的．左组开关通电线路有２条，但通电方式有３种（至少一个开关闭合）；右组开关通电线路有３条，但通电方式有７种．因此，根据分步计数原理可得：使电灯亮的通电线路有６条，通电方式有２１种．

５. 何为等可能性事件？

关于等可能性事件，可能人教版教材编者认为没有必要明确定义，但在实际教学中，老师们不能回避，因此也就各行其是了。

包括该节内容的整个概率单元，是从原中师课本移植而来。在前几年河北省中师数学参评教案和汇课比赛中多次见到关于该课题的教学设计，其中大多通过例子补充这一概念，大意如下：掷一枚硬币，落地后出现“正面向上”和“反面向上”的可能性相等，“正面向上”和“反面向上”这两个事件叫等可能性事件。如此说来，等可能性事件是事件与事件之间的一种二元关系性概念。

在有的教辅书［４］中则又表述为：“对于有些随机试验来说，每次试验只能出现有限个不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性相等，象这样的随机事件称为等可能性事件。”在这个表述中，“象这样的”是哪样的？“随机事件”又指什么？是指试验的那些不同结果（事件）之间的关系？还是指试验的那些不同结果组成的一个事件？

究竟什么是等可能性事件？

在各种正规的中等、高等数学教材和辞书中都找不到答案。笔者认为，综合考虑该节内容的编写意图、古典概型的内容特点和教科书的可读性，如下处理较为妥当：

给出等可能性试验的概念，表述如下：在一次试验中，如果可能出现的不同结果的个数是有限数，而出现各种不同结果的可能性都相等，那么就把这样的一次试验，叫做一次等可能性试验。

在给出基本事件的概念（见教科书）之后，再给出等可能性事件的定义，可表述如下：在一次等可能性试验中，由几个基本事件组成的事件，叫做等可能性事件。如此处理， 不仅概念清楚，而且便于判断和分析计算概率。

类似的问题还可举出一些，例如，既奇又偶函数有多少个？（无数个： f（x）= 0的定义域对称于原点即可）、等差数列和等比数列定义中的“常”字是否多余？（多余）等等，只要我们做教学的有心人，就会明辨是非，不被误导。

注释：

［１］内蒙古人民出版社  04第一版， 贾凤山《成才之路—高考数学总复习》.

［２］陕西人民教育出版社03第4版，黄明华《中学教材全解——高一数学上》．

［３］陕西人民教育出版社04第5版，黄明华《中学教材全解——高二数学下》．

［４］北京师范大学出版社02第1版，戴佳珉《高中数学教案——二年级下B》．