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三角函数专题热点复习指导

时间:2017-09-22 17:56:53  来源:  作者:  阅读数:

  已知函数f(x)=--sin2x+sinxcosx

  (Ⅰ)求f(-)的值;

  (Ⅱ)设α∈(0,π),f(-)=---,sinα的值。

  解:(Ⅰ)化简f(x),f(x)=-cos2x+-sin2x--

  =sin(2x+-)--

  f(-)=sin---=0

  解:(Ⅱ)f(-)=sin(α+-)--

  =---,

  ∴sin(α+-)=-

  -sinα+-cosα=-

  sinα+-cosα=-

  -cosα=--sinα

  两边平方整理关于sinα的二次方程:

  16sin2α-4sinα-11=0

  ∵α∈(0,π)

  ∴sinα=-

  注:在三角函数的求值、化简及研究三角函数的性质中,公式αsinα+bcosα=-sin(α+φ),tanφ=-ba,起着重要的作用。

  (二)三角函数的图象与性质

  复习导引:这一部分是高考的重点内容。三角函数的研究内容与方法既具有一般函数性质,又有其特殊的性质,周期性突显出来,如第3、9题,从图象角度审视,轴对称、中心对称、成为拟题的载体,如第4、5、6、11题。

  1.设函数f(x)=-cos2ωx+sinωxcosωx+α(其中ω>0,α∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为-。

  (Ⅰ)求ω的值;

  (Ⅱ)如果f(x)在区间[--,-]上的最小值为-,求α的值。

  解:(Ⅰ)f(x)=-cos2ωx+sinωx·cosωx+α

  =--+-sin2ωx+α

  =-sin2ωx+-cos2ωx+α+-

  =sin(2ωx+-)+α+-

  2ω·■+-=-,ω=-

  (Ⅱ)f(x)=sin(x+-)+α+-

  --≤x≤-

  0≤x+-≤-

  fmin(x)=f(-)=--+α+-=-

  ∴α=-+-

  2.如图,函数y=2sin(πx+φ),(x∈R),(其中0≤φ≤-)的图象与y轴交于点(0,1)。

  (Ⅰ)求φ的值;

  (Ⅱ)设p是图象上的最高点,M、N是图象与x轴的交点,求-与-的夹角。

  解:(Ⅰ)f(0)=2sinφ=1,sinφ=-

  0≤φ≤-∴φ=-

  (Ⅱ)f(x)=2sin(πx+-)

  ∵P为最高点

  ∴πx+-=-,x=-,Q(-,0)

  f(x)周期T=-=2,-=1,|MN|=1,|NQ|=-,|PQ|=2,tanα=-

  cos2α=-=-

  ∴-与-的夹角是arccos-

  3.已知函数f(x)=Asin2(ωx+φ),(A>0,ω>0,0<φ<-),且y=f(x)的最大值为2,其图象相邻两对称轴的距离为2,并过点(1,2)。

  (1)求φ;

  (2)计算f(1)+f(2)+…+f(2008)。

  解:(Ⅰ)f(x)=Asin2(ωx+φ)=---cos(2ωx+2φ)

  fmax(x)=--(--)=2∴A=2

  由已知,T=4=-,ω=-

  f(x)=1-cos(-x+2φ)

  f(1)=1-cos(-+2φ)=2

  ∴sin2φ=10<φ<-

  ∴φ=-

  ∴f(x)=sin(-x)+1

  (Ⅱ)f(1)=sin-+1=2

  f(2)=sinπ+1=1

  f(3)=sin-+1=0

  f(4)=sin2π+1=1

  又f(n)是以4为周期的函数

  -=502

  ∴f(1)+f(2)+…+f(2008)=502×4=2008

  4.设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=-。

  (Ⅰ)求φ;

  (Ⅱ)求函数y=f(x)的单调增区间;

  (Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。

  解:(Ⅰ)∵x=-为f(x)对称轴,

  ∴sin(2×■+φ)=±1.

  ∴sin(-+φ)=±1,-π<φ<0

  ∴-+φ=--,φ=--

  ∴f(x)=sin(2x--)

  解:(Ⅱ)f(x)的单调递增区间

  2kπ--≤2x--≤2kπ+-,k∈Z

  kπ+-≤x≤kπ+-,k∈Z

  证明:(Ⅲ)5x-2y+c=0,斜率k=-

  f(x)=sin(2x--)

  k'=f'(x)=2cos(2x--)

  |k'|≤2

  ∵k≠|k'|∴不能相切

  注:本题阐述了三角函数图象轴对称求解析式的方法。